Теория Марковица: как собрать инвестиционный портфель

Две бумаги с одинаковой доходностью могут нести разный риск — и это ещё не всё. Даже по отдельности волатильные активы в паре нередко ведут себя спокойнее, чем каждый из них сам по себе. Причина в том, что они реагируют на разные события и не падают одновременно. Теория Марковица превращает это наблюдение в рабочий инструмент: она показывает, как распределить деньги между бумагами, чтобы риск портфеля был ниже, чем у отдельных его частей, при той же ожидаемой доходности.

Выгода практическая. Вместо интуитивного «наберу побольше разных акций» инвестор получает расчёт: какие веса дают лучший баланс риска и доходности и где проходит граница, за которой портфели уже не улучшаются. Дальше — вопрос личного выбора: агрессивнее или осторожнее, и модель подсказывает, как это отразить в цифрах. В статье разберём суть подхода, откуда берутся два числа по каждой бумаге, зачем нужны ковариация и корреляция, как строится эффективная граница и выбирается точка на ней, что модель упускает и как посчитать веса в обычной таблице. Отдельно — кому такой портфель подходит, а кому разумнее индексный фонд.

Портфельная теория Марковица: суть модели за пять минут

Гарри Марковиц в 1952 году сформулировал мысль, которая до сих пор лежит в основе почти любого разговора о портфеле: инвестор выбирает не отдельные бумаги, а комбинацию их весов, и качество этой комбинации определяется двумя параметрами одновременно — ожидаемой доходностью и риском. Ключевой вывод: при заданном уровне риска существует набор портфелей с максимально возможной доходностью, и наоборот. Всё остальное в теории — математический аппарат, который позволяет найти такие комбинации.

Второй, менее очевидный тезис: риск портфеля не равен среднему риску входящих в него бумаг. Он зависит ещё и от того, насколько бумаги движутся согласованно. Две волатильные бумаги, которые растут и падают в разные моменты, в сумме могут дать портфель спокойнее каждой из них по отдельности. Это и есть эффект диверсификации, ради которого строится вся конструкция.

Модель работает с набором упрощений: доходности описываются средним и стандартным отклонением, инвестор не любит риск, рынки ликвидны, издержек нет, а будущее распределено примерно как в прошлом. Каждое из этих допущений — мишень для критики, и ниже разобрано, где именно они ломаются. Но как язык описания портфеля модель полезна даже тем, кто никогда не будет считать ковариационную матрицу: она объясняет, зачем нужны активы разных классов и почему «просто купить лучшую акцию» — не стратегия.

Практическая ценность теории для частного инвестора скромнее, чем обещают презентации управляющих компаний. Она не предсказывает доходность и не гарантирует результат. Она даёт дисциплину: заставляет заранее зафиксировать целевые доли, измерить риск, а не только доходность, и признать, что любой портфель — компромисс, а не набор любимых бумаг. Дальше — как этот компромисс считается.

Ожидаемая доходность и риск бумаги: откуда берутся два числа

Модель требует от каждой бумаги ровно двух входных чисел. Первое — ожидаемая доходность: среднее арифметическое исторических доходностей за выбранный период, либо, что корректнее, сумма ожидаемого купона или дивиденда и предполагаемого изменения цены. Второе — риск, измеряемый стандартным отклонением доходности: насколько фактические значения разбрасывались вокруг среднего. Чем шире разброс, тем выше число риска.

Здесь первая ловушка. Ожидаемая доходность — не прогноз, а статистика прошлого, перенесённая в будущее. Бумага, которая три года росла, даст высокое среднее и привлекательный вес в расчёте, даже если её оценка уже перегрета. Модель этого не видит: она не знает про P/E, долговую нагрузку и качество менеджмента. Для облигации ситуация чуть честнее — купон известен, но риск реинвестирования и кредитный риск в стандартном отклонении цены почти не отражаются.

Вторая ловушка — выбор периода. На коротком окне (год-два) стандартное отклонение сильно зависит от одной-двух крупных просадок, и число получается случайным. На длинном окне (десять лет и больше) усредняются разные экономические режимы, и риск размывается. Разумный компромисс — несколько лет с обязательной проверкой, что в выборку попал хотя бы один кризисный эпизод. Если в данных только рост, оценка риска занижена, и портфель на бумаге выглядит безопаснее, чем есть.

Третья ловушка — частота данных. Дневные доходности дают много наблюдений, но шумят и завышают риск из-за микроколебаний; месячные устойчивее, но их мало. Главное — не смешивать частоты в одном расчёте и помнить, что стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и доходность: если считать в процентах годовых, то и риск должен быть в процентах годовых.

Для иллюстрации: у бумаги с исторической средней доходностью около 10% годовых и стандартным отклонением порядка 20% типичный разброс результатов за год — плюс-минус два таких отклонения, то есть очень широкий коридор. Именно поэтому одно число доходности без числа риска бессмысленно.

Ковариация и корреляция: почему активы двигаются не синхронно

Ковариация показывает, в какую сторону и насколько согласованно отклоняются доходности двух бумаг от своих средних. Если одна растёт, когда другая падает, ковариация отрицательна. Корреляция — та же величина, нормированная в диапазон от минус единицы до единицы, поэтому её удобно сравнивать между разными парами активов.

Формула риска портфеля из двух бумаг устроена так: квадрат веса первой на квадрат её риска, плюс квадрат веса второй на квадрат её риска, плюс удвоенное произведение весов, рисков и корреляции. Последнее слагаемое — сердце модели. При корреляции близкой к единице оно большое и положительное, диверсификация почти не работает: портфель ведёт себя как одна бумага. При корреляции около нуля вклад этого слагаемого исчезает, и риск портфеля становится меньше средневзвешенного риска бумаг. При отрицательной корреляции риск падает ещё заметнее.

Отсюда практический вывод, который часто теряется за математикой: диверсификация — это не количество бумаг, а различие в их драйверах. Десять акций одного сектора имеют высокую взаимную корреляцию и дают мало защиты. Акции, длинные облигации и, например, золото реагируют на разные макрофакторы, и их корреляции ниже — но не нулевые и не стабильные.

Главная оговорка скептика: корреляция не константа. В спокойные периоды она между разными классами активов невысока, а в панике растёт — инвесторы продают всё сразу, и защитные активы падают вместе с рисковыми. Модель, посчитанная по «мирным» данным, в кризис даст портфель с риском выше ожидаемого. Поэтому корреляции стоит пересчитывать и смотреть отдельно на кризисные окна, а не только на средние за десять лет.

Эффективная граница: где заканчиваются плохие портфели

Если перебрать все возможные комбинации весов активов и для каждой посчитать ожидаемую доходность и риск, получится облако точек на плоскости «риск — доходность». Его левая верхняя граница и есть эффективная граница: множество портфелей, которые при данном риске дают максимальную доходность, а при данной доходности — минимальный риск. Всё, что правее и ниже границы, — неэффективные портфели: тот же риск при меньшей доходности или та же доходность при большем риске.

Форма границы — выпуклая кривая, выгнутая влево. Причина — эффект диверсификации: по мере добавления слабо коррелированных активов риск сначала падает быстро, потом улучшение замедляется. Крайняя левая точка соответствует портфелю с минимальным возможным риском; дальше кривая уходит вверх и вправо, и рост доходности требует всё большего риска. Верхняя часть кривой, где доходность растёт с риском, и считается рабочей зоной; нижняя ветвь — заведомо плохие портфели, которые дают меньшую доходность при том же риске.

Важное ограничение, о котором умалчивают: граница строится на исторических данных и неявно предполагает, что веса можно менять без издержек и что короткие продажи разрешены. Если запретить шорты, граница сдвинется вправо — доступный набор портфелей сузится. Если учесть комиссии и налоги на ребалансировку, «оптимальный» портфель может оказаться дороже в обслуживании, чем чуть менее оптимальный.

Ещё один нюанс: граница очень чувствительна к входным оценкам доходности. Небольшое изменение ожидаемой доходности одной бумаги может перебросить оптимальные веса с одного края на другой. Это называется ошибкой оптимизации: модель выдаёт точные на вид числа, которые на деле нестабильны. Практики поэтому часто не берут точку на границе буквально, а используют её как ориентир и добавляют ограничения на веса.

Кривая безразличия инвестора и выбор точки на границе

Эффективная граница описывает, что доступно, но не отвечает, что выбрать. Ответ даёт второй элемент модели — функция полезности инвестора, которую графически изображают кривыми безразличия: наборами комбинаций «риск — доходность», одинаково приемлемых для конкретного человека. Кривые идут снизу влево вверх и не пересекаются; более высокая кривая означает больший комфорт.

Наклон кривой отражает терпимость к риску. Консервативный инвестор готов принять дополнительный риск только в обмен на заметную прибавку доходности — его кривые крутые. Агрессивный согласен на резкие колебания ради небольшого повышения ожидаемой доходности — кривые пологие. Точка касания кривой безразличия с эффективной границей и есть оптимальный портфель для этого человека.

На практике измерить «коэффициент неприятия риска» числом невозможно, и это слабое место всей конструкции. Опросники брокеров и управляющих редко дают устойчивую оценку: ответы зависят от настроения и от того, как сформулирован вопрос. Честнее задать себе три вопроса: какую просадку я переживу, не продавая активы; какой горизонт у этих денег; что произойдёт с моими планами, если доходность окажется вдвое ниже ожидаемой. Ответы дают грубый, но рабочий ориентир, где на границе вам комфортно.

Есть и более простой приём, который используют на практике: выбрать на границе портфель с минимальным риском, а затем двигаться вправо до тех пор, пока предполагаемая прибавка доходности не перестанет оправдывать дополнительную волатильность. Такой подход не требует математической функции полезности и защищает от типичной ошибки — гнаться за верхней точкой границы, забывая, что высокая ожидаемая доходность сопровождается просадками, которые придётся пережить.

Что модель Марковица не учитывает: транзакционные издержки, налоги, хвостовые риски

Классическая модель предполагает идеальный рынок: сделки бесплатны, налоги отсутствуют, ликвидность бесконечна, а распределение доходностей симметрично. Каждое допущение в реальности нарушается, и нарушения не косметические.

• Транзакционные издержки. Ребалансировка до точных оптимальных весов — это регулярные сделки, а значит комиссии брокера и биржи плюс спред. Чем чаще пересчёт и чем ближе веса к «идеальным», тем больше издержки съедают прибавку. На практике выгоднее ребалансировать по коридорам отклонения, а не постоянно.
• Налоги. Продажа бумаг с прибылью создаёт налоговую базу; реализация убытка, наоборот, может её уменьшить. Оптимизация без учёта налога на оборот может дать портфель, который на бумаге эффективнее, а после налогов — хуже.
• Хвостовые риски. Стандартное отклонение штрафует за отклонения в обе стороны и не различает редкие катастрофические потери от частых мелких. Реальные распределения доходностей имеют «тяжёлые хвосты»: кризисы случаются чаще, чем предсказывает нормальное распределение. Портфель, оптимальный по дисперсии, может быть уязвим именно к тем событиям, которые инвестор переживает хуже всего.
• Ликвидность и доступность. Не все активы можно купить в нужном объёме и продать без проскальзывания; часть инструментов доступна только квалифицированным инвесторам. Сложные продукты — фьючерсы, опционы, структурные продукты, иностранные ETF — неквалифицированный инвестор может купить лишь после бесплатного тестирования у брокера, а статус квалифицированного даётся по критериям, включая размер активов, опыт и образование.
• Нестационарность. Средние и корреляции меняются; модель, откалиброванная на прошлом, не гарантирует будущего.

Вывод для читателя: результаты оптимизации — не приказ, а черновик. Их нужно прогонять через фильтр издержек, налогов и собственной переносимости просадок, а не копировать в торговый терминал.

Как применить теорию на практике: сбор данных и расчёт весов в таблице

Полноценная оптимизация требует программирования или специализированного софта, но базовую версию можно собрать в обычной таблице. Ниже — рабочая последовательность действий.

1. Определите список активов: например, несколько фондов или бумаг разных классов. Не берите больше 5–7 позиций на старте — матрица корреляций быстро становится шумной.
2. Соберите ряды месячных доходностей за несколько лет, обязательно включая кризисный период. Источник — отчёты брокера, сайты бирж, данные управляющих компаний.
3. Посчитайте по каждому активу среднюю доходность и стандартное отклонение (в таблице — функции СРЗНАЧ и СТАНДОТКЛОН).
4. Постройте матрицу ковариаций (функция КОВАРИАЦИЯ.В по парам рядов) или матрицу корреляций (КОРРЕЛ).
5. Задайте несколько наборов весов — например, равные доли, перевес в сторону менее волатильных активов, перевес в сторону более доходных — и для каждого посчитайте риск портфеля по формуле с ковариациями.
6. Сравните точки «риск — доходность» и выберите те, что лежат выше и левее остальных: это ваша приблизительная эффективная граница.
7. Добавьте ограничения: минимальные и максимальные доли, запрет на активы, которые вы не готовы держать, порог по издержкам ребалансировки.
8. Зафиксируйте целевые веса и правило ребалансировки — по календарю или по отклонению доли от цели на заданную величину.

Пример для иллюстрации: портфель из двух активов с равными долями, где у одного ожидаемая доходность около 10% годовых при риске порядка 20%, а у другого — ниже доходность и ниже риск, при невысокой корреляции даст риск заметно меньше среднего по двум бумагам. Точные числа зависят от данных, но логика сохраняется: диверсификация снижает риск быстрее, чем доходность.

Отдельно о защите средств: деньги и активы на брокерском счёте и ИИС не застрахованы государством так, как банковские вклады в системе страхования вкладов. Защита инвестора строится на обособленном хранении бумаг в депозитарии: при банкротстве брокера ценные бумаги остаются собственностью клиента и переводятся другому брокеру. Это не отменяет рыночного риска, но отделяет его от риска посредника.

Кому подходит портфель по Марковицу, а кому проще индексный фонд

Модель Марковица полезна не всем и не всегда. Ниже — сравнение двух подходов по ключевым признакам, чтобы читатель мог выбрать под свою ситуацию.

Портфель по Марковицу имеет смысл, если у вас есть капитал, ради которого стоит тратить время на расчёты, вы понимаете ограничения модели и готовы дисциплинированно ребалансировать. Он также полезен как упражнение: даже если вы в итоге выберете фонд, расчёт покажет, насколько ваш реальный портфель отклоняется от разумной комбинации риска и доходности.

Индексный фонд проще и дешевле, но не отменяет главного вопроса — соотношения риска и горизонта. Он не защищает от просадок и не гарантирует доходности; его преимущество в прозрачности и низких издержках, а не в предсказуемости результата. Маркетинговые обещания «доходности выше рынка» стоит воспринимать скептически: у прошлых результатов нет гарантии повторения.

Практический вывод: если вы не готовы считать ковариации и пересматривать веса — не имитируйте оптимизацию вслепую. Начните с простой диверсификации по классам активов и низких издержек, а модель Марковица используйте как ориентир для проверки, а не как инструкцию к действию. И помните: сложные инструменты требуют либо статуса квалифицированного инвестора, либо прохождения тестирования у брокера — это не формальность, а фильтр риска.

Информационный сервис. Не является финансовой рекомендацией. Окончательные условия уточняйте на сайте банка.